水曜日

条件付き確率でうまくいくはずなんだけれども、なかなかうまくいかない。よくよく考えると、二項分布から1次元の正規分布に近似されるのも、2次元正規分布に条件\(z_{1} + z_{2} = 0\)を付けた場合にあたるなぁと気付いた。これについて、ちょっとまじめに考えてみよう。問題をもう少し、しっかり書くと次のようになる。

問題

2次元正規分布の確率密度関数を次のように定義する。

\[ \begin{align*} &p(z_{1}, z_{2})dz_{1}dz_{2} = \prod_{i=1}\frac{dz_{i}}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_{i}^{2}/2}\\ &p_{1} + p_{2} = 1~~(p_{i} \ge 0) \end{align*} \]
このとき、\(z_{1} + z_{2} = 0\)としたときの条件付き確率\(p(Z_{1} = z_{1}; \Delta = 0)\)を求めよ。
ただし、\(\Delta = \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}Z_{1} + Z_{2}\)とする。

問題は書けたので、次回はこの問題を解こう。