多項分布から多変量正規分布への近似について(9)

問題

\[\begin{align*} &|\mathrm{A}| = \left| \begin{array}{cccc} 1 + \frac{p_{1}}{p_{s+1}} & \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{s+1}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{1}p_{k-1}}}{p_{s+1}} \\ \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{s+1}} & 1 + \frac{p_{2}}{p_{s+1}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{2}p_{s}}}{p_{s+1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ldots \\ \frac{\sqrt{p_{1}p_{s}}}{p_{s+1}} & \frac{\sqrt{p_{2}p_{s}}}{p_{s+1}} & \ldots & 1 + \frac{p_{s}}{p_{s+1}}\\ \end{array} \right| = \left|(\mathrm{C}_{s}, 1 + \frac{\sqrt{p_{s}}}{p_{s+1}}\boldsymbol{v}^{\prime}) \right|\\ &\mathrm{C}_{i} = \left( \begin{array}{c} \mathrm{I}_{i\times i} \\ \mathrm{O}_{(s-i) \times (i)} \end{array} \right)\\ &\boldsymbol{v}^{\prime} = \frac{1}{p_{s+1}} \left( \frac{p_{1}}{\sqrt{p_{1}}}, \frac{p_{1} + p_{2}}{\sqrt{p_{2}}}, \ldots , \frac{\sum_{l=1}^{i}p_{l}}{\sqrt{p_{i}}}, \ldots , \frac{\sum_{l=1}^{s}p_{l}}{\sqrt{p_{s}}} \right) \end{align*} \]
を示せ。これが示されれば、三角行列になっているので、対角成分の積が行列式に等しい。従って
\[|A| = 1 + \frac{\sqrt{p_{s}}}{p_{s+1}}\frac{\sum_{l=1}^{s}p_{l}}{\sqrt{p_{s}}} = \frac{\sum_{l=1}^{s+1}p_{l}}{p_{s+1}}\]
となる。特に\(\sum_{l=1}^{s+1} p_{l} = 1\)のとき\(|A| = 1/p_{s+1}\)になる。

考えたこと

\(s = 3\)のときと同様の操作を\(i\)回繰り返すと、\(|\mathrm{A}|\)は次のように変形できることをまず示す。

\[ \begin{align*} &|\mathrm{A}| = |(\mathrm{C}_{i}, \boldsymbol{e}_{i+1} + \sqrt{p_{i+1}}\boldsymbol{v}^{(i+1)}, \boldsymbol{e}_{i+2} + \sqrt{p_{i+2}}\boldsymbol{v}^{(i+1)}, \ldots , \boldsymbol{e}_{s} + \sqrt{p_{s}}\boldsymbol{v}^{(i+1)})|\\ &\boldsymbol{v}^{(i+1)} =\boldsymbol{v}^{(i)} + \sqrt{\frac{p_{i}}{p_{i+1}}}(v^{(i)})_{i} \boldsymbol{e}_{i+1} \end{align*} \]
ただし\(\boldsymbol{v}^{(1)} = \boldsymbol{v}\)である。 \(i = 1\)のときは、直接計算することで確認できるので、\(i = k\)のとき成り立つと仮定すれば、\(i = k+1\)のときも成り立つことを示すことによって、これを証明する。

まず\(\boldsymbol{v}^{(i)}\)は漸化式から
\[ \left(\boldsymbol{v}^{(i)}\right)^{t} =\frac{1}{p_{s+1}} \left(\frac{p_{1}}{\sqrt{p_{1}}}, \frac{p_{1} + p_{2}}{\sqrt{p_{2}}}, \ldots , \frac{\sum_{l = 1}^{i-1} p_{l}}{\sqrt{p_{i}}}, v_{i}, v_{i+1}, \ldots , v_{s}\right)\]
となることが確認できるので、これを以降の証明で使う。

次の操作で、\(k\)列以前は変化しないので、\(k+1\)列以降の成分がどう変化するかを確認する。

1. \(\sqrt{\frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}} \times \text{k+2列}\)をk+1列から引く
2. \(\sqrt{\frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}} \times \text{k+1行}\)をk+2行に足す

操作1では(k+1)列だけが、変化する。そして、その値は次のように計算できる。
\[ \begin{align*} \text{(k+1)列} &= \boldsymbol{e}_{k+1} + \sqrt{p_{k+1}} \boldsymbol{v}^{(k+1)} - \sqrt{\frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}}\left( \boldsymbol{e}_{k+2} + \sqrt{p_{k+2}} \boldsymbol{v}^{(k+1)} \right)\\ &= \boldsymbol{e}_{k+1} - \frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}\boldsymbol{e}_{k+2} \end{align*} \]
次に、操作2では(k+1)列以降の全ての列が変化するが、それ以前は\(k+1\)行の成分が全て0なので、変化しない。\(k+1\)行目はk+1行目のk+1成分は1なので、次のようになる。
\[ \begin{align*} (\text{k+1行}) &= \boldsymbol{e}_{k+1} - \sqrt{\frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}}\boldsymbol{e}_{k+2} + \frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}(\text{k+1行})_{k+1} \boldsymbol{e}_{k+2}\\ &= \boldsymbol{e}_{k+1} \end{align*} \]
\(k + 2 \le i \le s\)列目は次のようになる。
\[ \begin{align*} (\text{i行}) &= \boldsymbol{e}_{i} + \sqrt{p_{i}} \boldsymbol{v^{(k+1)}} + \sqrt{\frac{p_{k+1}}{p_{k+2}}}\sqrt{p_{i}}(v^{(k+1)})_{k+1} \boldsymbol{e}_{k+2}\\ &= \boldsymbol{e}_{i} + \sqrt{p_{i}} \boldsymbol{v^{(k+2)}} \end{align*} \]
最後の等式には\(\boldsymbol{v}^{(i)}\)の漸化式を使った。この結果を使うと、次のようになり、\(i = k+1\)も成り立つことが分かる。
\[ \begin{align*} |\mathrm{A}| &= |(\mathrm{C}_{k}, \boldsymbol{e}_{k+1}, \boldsymbol{e}_{k+2} + \sqrt{p_{k+2}}\boldsymbol{v}^{(k+2)}, \boldsymbol{e}_{k+3} + \sqrt{p_{k+3}}\boldsymbol{v}^{(k+2)}, \ldots , \boldsymbol{e}_{s} + \sqrt{p_{s}}\boldsymbol{v}^{(k+2)})|\\ &= |(\mathrm{C}_{k+1},\boldsymbol{e}_{k+2} + \sqrt{p_{k+2}}\boldsymbol{v}^{(k+2)}, \boldsymbol{e}_{k+3} + \sqrt{p_{k+3}}\boldsymbol{v}^{(k+2)}, \ldots , \boldsymbol{e}_{s} + \sqrt{p_{s}}\boldsymbol{v}^{(k+2)})| \end{align*} \]
\(i\)回操作を繰り返した後の式が得られたので、これを\(s\)回繰り返すと、欲しかった式が得られる。これにより、一般に\(|A| = 1/p_{s}\)だと分かった。

次回

今回の話題は、これで一旦終了です。