問題
2次元正規分布の確率密度関数を次のように定義する。
\[
\begin{align*}
&p(z_{1}, z_{2})dz_{1}dz_{2} = \prod_{i=1}\frac{dz_{i}}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_{i}^{2}/2}\\
&p_{1} + p_{2} = 1~~(p_{i} \ge 0)
\end{align*}
\]
このとき、\(z_{1} + z_{2} = 0\)としたときの条件付き確率\(p(Z_{1} = z_{1}; \Delta = 0)\)を求めよ。
ただし、\(\Delta = \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}Z_{1} + Z_{2}\)とする。
このとき、\(z_{1} + z_{2} = 0\)としたときの条件付き確率\(p(Z_{1} = z_{1}; \Delta = 0)\)を求めよ。
ただし、\(\Delta = \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}Z_{1} + Z_{2}\)とする。
解答
条件付き確率の定義から
\[ p(Z_{1} = z_{1}; \Delta = 0) = \frac{p(Z_{1} = z_{1}, \Delta = 0)}{p(\Delta = 0)}~~(1)\]
と書ける。まず、\(z_{2}\)を\(- \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{2}}}z_{1} + \delta\)で\(z^{2} = z_{1}^{2} + z_{2}^{2}\)を書き直すと、
\[z^{2} = \frac{1}{p_{2}}\left(z_{1} - \sqrt{p_{1}p_{2}}\delta \right)^{2} + p_{2}\delta^{2}\]
となる。これを確率密度関数に代入して、\(dz_{2}\)を\(d\delta\)に書き換えると、確率密度関数を\(z_{1}, \delta\)の関数として書き直すことができる。
\[p(Z_{1} = z_{1}, \Delta = \delta) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^{2}\exp\left[- \frac{1}{2p_{2}}\left(z_{1} - \sqrt{p_{1}p_{2}}\delta\right)^{2} - \frac{p_{2}}{2} \delta^{2}\right]~~(2)\]
これを\(z_{1}\)について積分して周辺確率が計算できる。
\[ p(\Delta = \delta) = \sqrt{\frac{p_{2}}{2\pi}} e^{-\frac{1}{2p_{2}}\delta^{2}}~~(3)\]
(2),(3)を(1)の右辺に代入すると、条件付き確率が得られる。
\[ p(Z_{1} = z_{1}, \Delta = 0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi p_{2}}} e^{-\frac{1}{2p_{2}}z_{1}^{2}}\]
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