問題
\[ \begin{align*} \boldsymbol{u}_{1} &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{e}_{i}\\ \boldsymbol{u}_{2} &= \sum_{i=1}^{n} c_{i}\boldsymbol{e}_{i} \end{align*} \]
を含む規格直交基底を構成できることを示せ。
解答
\(n\)個の\(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\)を含む線形独立なベクトルの組を見い出せば、グラムシュミット直交化法により、規格直交基底を構成することができる。そこでまず、\(\{\boldsymbol{e}_{i}\}\)の\(\boldsymbol{e}_{1}\)を\(\boldsymbol{u}_{1}\)に置き換えたものが線形独立であることを示してから、\(c_{k} \neq c_{1}\)になる添字を\(k\)として、\(\boldsymbol{e}_{k}\)と\(\boldsymbol{u}_{2}\)を置き換えたものが線形独立になることを示す。
\(\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}, \ldots , \boldsymbol{e}_{n}\}\)が線形従属と仮定すると
\[ \sum_{i=2}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i} + \alpha_{1} \boldsymbol{u}_{1} = 0\]
となる\(\boldsymbol{\alpha}\)が0ベクトル以外に存在する。\(\alpha_{1} = 0\)のときは、\(\{\boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}, \ldots , \boldsymbol{e}_{n}\}\)が線形独立であることに矛盾し、\(\alpha_{1} \neq 0\)のときは、\(\boldsymbol{u}_{1}\)からくる\(\boldsymbol{e}_{1}\)成分を打ち消すベクトルが存在しない。従ってこの仮定は矛盾するので、\(\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{e}_{1}, \ldots , \boldsymbol{e}_{n}\}\)は線形独立である。
次に\(\boldsymbol{u}_{2}\)と\(\boldsymbol{e}_{k}\)を置き換え、添字の\(k\)と\(2\)を交換する。すると先ほどと同様にn個のベクトルの組は線形従属だと仮定すると
\[ \boldsymbol{V} = \sum_{i=3}^{n} \alpha_{i} \boldsymbol{e}_{i} + \alpha_{1} \boldsymbol{u}_{1} + \alpha_{2} \boldsymbol{u}_{2} = 0\]
が成り立つ。\(\alpha_{2} = 0\)とすると、残りのベクトルの組が線形従属になり矛盾する。\(\alpha_{2} \neq 0\)のときは、\(\boldsymbol{u}_{i} \cdot \boldsymbol{V} = 0\)から
\[
\begin{align*}
\alpha_{1} &= - \frac{n-2}{\sqrt{n}}\\
\alpha_{2} &= c_{1} + c_{2} \end{align*}
\]
が得られる。1成分と2成分以外は\(\{\boldsymbol{e}_{i}\}\)で打ち消せるので、1, 2成分が0になるように係数を調整する。\( \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{V} = \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{V} = 0\)から条件はもとまり
\[ \begin{align*} c_{1} ( c_{1} + c_{2} ) = \frac{n - 2}{n}\\ c_{2} ( c_{1} + c_{2} ) = \frac{n - 2}{n} \end{align*} \]
となる。従って\(c_{1} = c_{2}\)ならば、線形従属になる。もし置き換えとして選んだ\(\boldsymbol{e}_{k}\)がたまたまこの条件を満たすとしても、\(k = 2, 3, \ldots n\)全てについて成り立つことはない。なぜならば、これが成り立つと\(c_{1} = c_{2} = c_{3} = \ldots = c_{n}\)となり、\(\boldsymbol{u}_{2}\)が\(\boldsymbol{u}_{1}\)のスカラー倍になってしまい、互いに直交しなくなる。以上より、必ず\(c_{1} \neq c_{k}\)にできるので、\(\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{e}_{4} , \ldots , \boldsymbol{e}_{n} \}\)は線形独立である。
が得られる。1成分と2成分以外は\(\{\boldsymbol{e}_{i}\}\)で打ち消せるので、1, 2成分が0になるように係数を調整する。\( \boldsymbol{e}_{1} \cdot \boldsymbol{V} = \boldsymbol{e}_{2} \cdot \boldsymbol{V} = 0\)から条件はもとまり
\[ \begin{align*} c_{1} ( c_{1} + c_{2} ) = \frac{n - 2}{n}\\ c_{2} ( c_{1} + c_{2} ) = \frac{n - 2}{n} \end{align*} \]
となる。従って\(c_{1} = c_{2}\)ならば、線形従属になる。もし置き換えとして選んだ\(\boldsymbol{e}_{k}\)がたまたまこの条件を満たすとしても、\(k = 2, 3, \ldots n\)全てについて成り立つことはない。なぜならば、これが成り立つと\(c_{1} = c_{2} = c_{3} = \ldots = c_{n}\)となり、\(\boldsymbol{u}_{2}\)が\(\boldsymbol{u}_{1}\)のスカラー倍になってしまい、互いに直交しなくなる。以上より、必ず\(c_{1} \neq c_{k}\)にできるので、\(\{\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{e}_{4} , \ldots , \boldsymbol{e}_{n} \}\)は線形独立である。
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