多項分布から多変量正規分布への近似について(7)

問題

\[ \left| \begin{array}{cccc} 1 + \frac{p_{1}}{p_{s+1}} & \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{s+1}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{1}p_{k-1}}}{p_{s+1}} \\ \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{s+1}} & 1 + \frac{p_{2}}{p_{s+1}} & \ldots & \frac{\sqrt{p_{2}p_{s}}}{p_{s+1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ldots \\ \frac{\sqrt{p_{1}p_{s}}}{p_{s+1}} & \frac{\sqrt{p_{2}p_{s}}}{p_{s+1}} & \ldots & 1 + \frac{p_{s}}{p_{s+1}}\\ \end{array} \right| = \frac{1}{p_{s+1}} \]
を\(\sum_{l=1}^{s+1}p_{l} = 1\)として示せ。

考えたこと

まず\(s=2\)のときから考えるのが一番単純になる。2次の行列式の公式を使うと\(|\mathrm{A}| = \frac{p_{1} + p_{2} + p_{3}}{p_{3}}\)になるが、\( p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1\)であるから\(|\mathrm{A}| = 1/p_{s+1}\)が成り立つ。

ここで、行列式は固有値の積であることを使うと、\(\mathrm{A}\)の固有値は\(1,~~1/p_{s+1}\)だと分かる。実は\(\mathrm{A} = 1 + \mathrm{B}\)であるから、\(|\mathrm{B}| = 0\)である(そうでなければ固有値$1$を取ることと矛盾する)。このことは、次のように書けば明らかである。

\[ \begin{align*} &\mathrm{B} = (\sqrt{p_{1}}\boldsymbol{v}, \sqrt{p_{2}} \boldsymbol{v})\\ &\boldsymbol{v}^{t} = \frac{1}{p_{3}}(\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}) \end{align*} \]

このことは、一般に成り立つ。
\[ \begin{align*} &\mathrm{B} = (\sqrt{p_{1}}\boldsymbol{v}, \sqrt{p_{2}} \boldsymbol{v}, \ldots , \sqrt{p_{s}}\boldsymbol{v})\\ &\boldsymbol{v}^{t} = \frac{1}{p_{s+1}}(\sqrt{p_{1}}, \sqrt{p_{2}}, \ldots , \sqrt{p_{s}}) \end{align*} \]
このような特殊な形をしていることに気づいた。このことを利用して、一般の場合の行列式が計算できないだろうか。

次回

2次、3次の正方行列の場合は、公式を使えばとりあえず\(1/p_{s+1}\)が成り立つことは示せます。次回は4次の場合の計算を扱って、一般的な場合の計算方法を模索します。