無相関検定に使う推定量の確率分布について(2)

問題

\[ \begin{align*} \boldsymbol{u}_{1} &= \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{e}_{i}\\ \boldsymbol{u}_{2} &= \sum_{i=1}^{n} c_{i}\boldsymbol{e}_{i} \end{align*} \]

を含む規格直交基底を構成できることを\(n=3\)について示せ。

解答

まず線形独立なベクトルの組を選ぶ。そうすれば、グラムシュミットの直交化によって、正規直交基底を構成することができる。ベクトルの組が線形独立かどうかの判定は、グラム行列の行列式が0で無いことにより確認する。

ベクトルの組として\(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{e}_{i}\)を選んだとする(\(i=1, 2, 3\))。するとグラム行列\(G_{i}\)は次のようになる。

\[ G_{i} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1/\sqrt{n}\\ 0 & 1 & c_{i}\\ 1/\sqrt{n}& c_{i} & 1 \end{array} \right) \]
行列式の計算は、3行目に\(-1/\sqrt{n} \text{1行目} - c_{i} \text{2行目}\)をたすと、行列式の値を変えることなく三角行列に変形できるので、対角成分の積から行列式は\(1 - 1/n - c_{i}^{2}\)だと分かる。仮に\(|G_{i}| = |G_{j}| = 0~~(i \neq j)\)とすると、\(c_{i}^{2} + c_{j}^{2} > 1\)になるので、\(\sum_{i=1}^{3} c_{i}^{2} = 1\)に矛盾する。従って、2つ以上のグラム行列の行列式が0になることは無いので、線形独立になる組は\(i = 1, 2, 3\)のいずれかだと言える。

\(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\)が線形独立とする。この3つのベクトルから、正規直交基底をグラムシュミットの直交化の方法によって、正規直交基底を構成する。
\[ \boldsymbol{v}^{(0)} = \boldsymbol{e}_{3} - (\boldsymbol{u}_{1} \cdot \boldsymbol{e}_{3}) \boldsymbol{u}_{1} \]
は\(\boldsymbol{u}_{1}\)と直交する。\(\boldsymbol{u}_{1}^{(0)} = \boldsymbol{v}^{(0)}/|\boldsymbol{v}^{(0)}|\)として
\[ \boldsymbol{v}^{(1)} = \boldsymbol{u}^{(0)} - (\boldsymbol{u}^{(0)}\cdot \boldsymbol{u}_{2}) \boldsymbol{u}_{2}\]
を定義する。これは\(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\)と直交するので、これを大きさ1に規格化したものと\(\boldsymbol{u}_{3}\)とする。
\[ \boldsymbol{u}_{3} = \frac{\boldsymbol{v}^{(2)}}{|\boldsymbol{v}^{(2)}|}\]
こうして構成したベクトル\(\{\boldsymbol{u}_{i}\}\)は規格直交基底をなす。