月曜日

今日はもう更新しないかもしれないと思ったけれども、一階線形微分方程式の一般解について考えてみたので記録する。一階微分方程式の一般形を
\[ y(x)^{\prime} + p(x) y(x) = g(x) \]
と書くと、斉次のときの一般解は
\[ y(x) = C e^{-\int p(x) dx}\]
である。ここまでの議論はスキップして、非斉次な場合を考える。斉次なときは、\( z(x) = y(x) e^{\int p(x) dx}\)は任意定数が一般解になるから\(z^{\prime} = 0\)が\(z\)の微分方程式。では、非斉次の場合も微分方程式がそのまま\(y\)で考えるより単純になりそうだと思って\(z\)の方程式を計算する。結果は
\[ z(x)^{\prime} = g(x) e^{\int p(x) dx}\]
になるので\(z\)はすぐに次のようになると分かる。
\[ z(x) = \int g(x) e^{\int p(x) dx} + C^{\prime} \]
ところで、\(z(x) = y(x) e^{\int p(x) dx}\)だから一般解は
\[ y(x) = \left(  \int g(x) e^{\int p(x) dx} + C^{\prime}  \right) e^{-\int p(x) dx}\]
である。これは定数変化法と同等だけれども、このように変形すると、定数を変化しているようにはちょっと見えない。