多項分布から多変量正規分布への近似について(5)

問題

三項分布がサンプルサイズ\(n\)が大きいとき、2次元正規分布に近似できることを示せ

考えたこと

\[ z_{3} = - \sqrt{\frac{p_{1}}{p_{3}}} z_{1}- \sqrt{\frac{p_{2}}{p_{3}}} z_{2}\]

を使って\(z^{2}\)を\(z_{1}, z_{2}\)だけで書き直すと次のようになる。
\[ \begin{align*} &z^{2} = \boldsymbol{z}_{2}^{t}\mathrm{A}\boldsymbol{z}_{2}\\ &\mathrm{A} = \left( \begin{array}{cc} 1 + \frac{p_{1}}{p_{3}} & \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{3}}\\ \frac{\sqrt{p_{1}p_{2}}}{p_{3}} & 1 + \frac{p_{2}}{p_{3}} \end{array} \right)\\ &\boldsymbol{z}_{2}^{t} = (z_{1}, z_{2}) \end{align*} \]
\(\mathrm{A}\)は対称行列なので、必ず対角化できる直交行列\(\mathrm{O}\)が存在する。対角行列を\(\mathrm{D}\)とすると
\[\mathrm{A} = \mathrm{O}\mathrm{D}\mathrm{O}^{t}\]
と書ける。\(\boldsymbol{x}_{2} = \mathrm{O}\boldsymbol{z}_{2}\)とすると
\[z^{2} = \sum_{i=1}^{2}\lambda_{i} (x_{2})_{i}\] 

なので、\(x_{i} = \sqrt{\lambda_{i}}(x_{2})_{i}\)が標準正規分布の確率変数になりそうなことが分かる。もう\(W\)は知っているので\(W\Delta n_{1} \Delta n_{2} \simeq p(z_{1}, z_{2}) \Delta z_{1} \Delta z_{2}\)を使うと
\[ p(z_{1}, z_{2})\Delta z_{1} \Delta z_{2} = \frac{1}{2\pi\sqrt{p_{3}}}e^{-z^{2}/2}\Delta z_{1} \Delta z_{2}\]
になるが、ここから\(\Delta (x_{2})_{1} \Delta (x_{2})_{2}\)に書きなおそうとするとヤコビアンがかかるけれども、これは\(|\det \mathrm{O}|\)なので因子として寄与しない。最後に\(\Delta x_{1} \Delta x_{2}\)に書き換えると、\(\prod_{i=1}^{2}\lambda_{i}\)が出てくるが、これは\(\det \mathrm{A}\)に等しい。まとめると、次のようになる。
\[ \begin{align*} p(x_{1}, x_{2}) \Delta (x_{1})_{1} \Delta (x_{2})_{2} &= \frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{\det [\mathrm{A}]p_{3}}}\exp \left(-\sum_{i=1}^{2}x_{i}^{2}/2\right)\Delta x_{1} \Delta x_{2}\\ &= \prod_{i=1}^{2} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_{i}^{2}/2}\Delta x_{i} \end{align*} \]
これは、2次元正規分布である。

次回

ここまでで、「三項定理が2次元正規分布に近似できる」ことが分かりました。次回は一旦、\(k\)項分布の場合に挑戦してみます。そこでまた、分からないところが出れば、立ち返って考えてみます。